金融市場是個多元複雜又規模巨大的場域，許多學者都試圖用方便理解的譬喻來幫助人們掌握核心概念。當然，模型必然與實際本體有些差距，但立論精確的數學譬喻，能化約看似難解的龐大變數，進而標定出關鍵要素，增進我們對市場的認識。今天要談的，就是用一個簡單的遊戲，來展現股市難以預測的本質：猜數字遊戲（number guessing game）
猜數字遊戲淵源已久，歷史上有不同版本，最先提出的人眾說紛紜，這裡以Richard Thaler教授1997年於英國金融時報上進行的經典實驗來介紹。
遊戲規則很簡單：
0到100間猜一個整數，該數字最接近「所有參與者所提數字之平均值的2/3」獲勝。
舉例：
A猜10、B猜40、C猜70，則(10+40+70)/3=40，而40*(2/3)=26.666
B猜40最接近26，故獲勝
有興趣的讀者可以找朋友或是自己隨機喊幾個數字來玩玩看，看結果會如何。準備好揭曉答案了嗎？
嗯，沒有標準答案。
接著我們就來拆解這個遊戲的寓意。
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一個普通玩家，可能覺得這個問題很複雜或是懶得猜，因此就從0到100間隨機選擇一個數字。他沒有對問題進行任何推斷，這裡將其定義為零級參與者。
如果稍微推理，假設其他玩家都是零級參與者，而樣本夠大的話，那麼許多人在0到100間隨機選擇，其平均值應為50。因此想要獲勝，就應該猜50的2/3，也就是33.333（取整數33）。由於此時對其他人的選擇進行了一次推理，因此這樣的玩家將其定義為一級參與者。
如果玩家都能想到這一步，那麼所有參與者都會猜33，但此時所有人選擇數字之平均值的2/3就會變成22。此時的答案，就從33變成了22。這些進行兩次推理的玩家，將其定義為二級參與者。
但是，如果所有的玩家都夠聰明成了二級參與者，那麼正解又從22變成了14.666（取整數15）。這些進行三次推理的玩家，將其定義為三級參與者。
如果所有人又推測到這一步，那麼大家都會選擇15，此時最佳解又變成15的2/3，成為10了。這些進行四次推理的玩家，將其定義為四級參與者。
如果大家都非常聰明（心機重），那麼不斷推理下去，成為五級、六級、十級，一百級參與者，最佳解可想見也會越來越小。
視覺化來看：
0級：50
1級：50*(2/3)=33
2級：50*(2/3)*(2/3)=22
3級：50*(2/3)*(2/3)*(2/3)=15
4級：50*(2/3)*(2/3)*(2/3)*(2/3)=10
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這個層次可以持續推論下去。令題目設定之數字範圍0至100，則整個推理過程寫成算式，即為100不斷乘以2/3，最終會無限趨近於0。寫到這邊，我們整理一下思緒。
這個遊戲參與者眾多，且每個人決策會相互影響，沒有參與者可以「獨自行動」（單方面改變決定）來增加收穫。如果所有參與者都遵循相同策略而達到最優選擇，此時，一個關鍵概念浮現了：這個策略組合就稱為奈許均衡（Nash Equilibrium）。猜數字遊戲中，如果所有人都選擇0，那麼就能保證所有人穩定獲勝，0就是奈許均衡。
然而問題是，世界上並沒有那麼多天才。即使是非常聰明的參與者，也需要考慮其他參與者是否能找到奈許均衡。因此，即便是已經找到奈許均衡的參與者，他所給出的答案就不一定是奈許均衡了。此時的問題就變成：其他參與者會考慮到哪一步？
回到Thaler的實驗，金融時報調查的結果是13。
從統計圖看到，金融時報讀者群具備一定數學程度，許多人選擇奈許均衡點0或是接近0的1，但他們卻忽略了並非所有人都能找到奈許均衡，因此，直接選擇0或1並不是最佳解。有人隨機猜，有人思考層級不深，甚至還有人故意猜極高極低來擾亂答案；你知道你的對手是哪些人嗎？這種決策路徑混沌不明的狀況下，正確答案，很沒把握。
寫到這邊，這個遊戲的寓意就呼之欲出了：「你的選擇」會因為「眾人的選擇」而成功或失敗。
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複雜理論（Complexity Theory）在這裡值得援引。複雜理論的核心論述是系統變化難以預測。一階複雜系統指的是，人為預測不會改變現象的結果（如氣象學家預測到颱風路徑，但颱風這個自然現象不會因為人為預測而有所變化）。二階複雜系統指的是，人為預測會改變現象結果，也就是猜數字遊戲案例中，每個人猜的數字不同會對最佳解造成變化。
這個遊戲可以用Howard Marks的第二層思考來探討，但依然會面臨到對手怎麼想的困境。你有思考嗎？你所思考的層次夠深嗎？你考慮到其他對手的思考了嗎？你有沒有可能想太多，聰明反被聰明誤？層次太多了，筆者個人比較喜歡用鏡花水月的概念來理解。（懂梗的人請舉手）
猜數字遊戲經常跟凱因斯報紙選美譬喻連帶出現，意思大同小異。如果要獲得勝利，那麼參與者要選的不是自己覺得最好的，而是大家覺得最好看的。也就是說，我們要去猜測別人會怎麼選。
把寓意寫成通俗語言，意思就是，買股票與其說是選擇自己覺得最有價值的股票，毋寧說是選擇市場認為最有價值的股票。如果你真的能知道整個市場在想什麼，那麼無論市場想法多麼荒謬，你都可以利用市場的想法賺錢。因此，股票市場這種選美遊戲，就是一個你與整個市場（所有參與者加總）的博弈。
有人贏過市場，必然有人會輸給市場，因為市場就是所有人績效的加總平均。想要贏過市場，就是進行零和遊戲。
面對這個賽局，投資者可以用被動追蹤市場指數的基金來參與，當本身成為市場，至少能保證自己不會落後標竿（而且根據本網誌多次提及的SPIVA統計，長期持有S&P500就能勝過近八成的參與者）。跟著市場同步成長，不需要擊敗誰，就能跟著實體經濟一同成長。或者投資者也可以主動參與，試圖找出在賽局中贏過他人的方式，這也是各種投資策略的殘酷競技場。賽局理論有許多延伸與變體情境（如重複賽局），某種程度上或許有打敗對手的算式，也是主動投資派夢寐以求的聖杯。
筆者目前的思考邏輯（也是本網誌名稱的彩蛋）是在機率中追求正期望值。我不求猜到精準的數字，但只要範圍「約略正確」，長久累積下來期望值是正的，績效就能持續成長。
寫到最後，回到本文所推論的核心概念：「你的選擇」會因為「眾人的選擇」而成功或失敗。這個概念不難理解，人生中很多事物也呈現這樣的賽局。謹記這個簡單的概念，就能提醒自己身處更加複雜的股市時，就算決策充滿自信，也很有可能遇上意料之外的失敗。
如同Ken Fisher在其著作一再提到，市場是個大羞辱者（The Great Humiliator），經常讓滿懷自信的投資人出糗，這點也呼應到猜數字遊戲所透露的市場本質。因此，常保謙虛不只是道德上的禮貌，看來也挺有數理實際上的必要性（笑）。
